Vzemi kroglo pomaranče. Izmeri, kako dolg je njen obseg (pot okrog nje), in to razdeli s premerom (razdalja čez sredino). Dobiš 3,14159... Vzemi kolo kolesa. Enako razmerje. Vzemi Sonce. Enako razmerje. Vzemi atom. Zmeraj 3,14159265358979..., in to v nedogled, brez ponovitve in brez vzorca. To je π – pi.
Pi ni samo "okroglo število za kroge". Je ena temeljnih konstant vesolja, ki se pojavi v enačbah za valove, verjetnost, elektriko, toploto in kvantno mehaniko – kjerkoli se v naravi kaj zaokroži ali zniha, tam tiho preži π.
Merjenje razmerja
Spodnja animacija pokaže bistvo: obseg kroga je vedno π-krat daljši od premera. Premakni drsnik in opazuj, kako se razmerje ne premakne.
Razmerje se ne premakne. Niti za trohico. Povečaj krog tisočkrat ali ga pomanjšaj na točko – π bo tam stal, neomajan, kot da bi bil del samega prostora. (Ker je.)
Kako so ga lovili skozi stoletja
Babilonci so okoli 1900 pr. Kr. uporabljali vrednost 3,125. Egipčani so imeli 3,1605. Arhimed iz Sirakuze (ok. 250 pr. Kr.) je bil prvi, ki je zasnoval metodo, ne le oceno: vpisal je poligone v krog in jih opisal okrog njega ter stiskal vrednost π med njunimi obsegi.
Arhimedova metoda
Vpiši pravilni n-kotnik v enoto krog (polmer = 1). Njegov obseg bo manjši od 2π; obseg opisanega n-kotnika bo večji. Ko povečamo n, se oba obsega stisneta k točni vrednosti 2π.
Arhimed je z 96-kotnikom dobil 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, kar pomeni, da je π med 3,1408 in 3,1429. Za grška usta brez kalkulatorja – neverjetno. Za primerjavo: za kolo s premerom enega metra je to napaka manj kot pol milimetra.
Pi ne preneha – in to ni naključje
Pi je iracionalno število: ne moreš ga zapisati kot ulomek p/q z naravnima številoma. To je Johann Lambert dokazal leta 1761 – torej dobrih 2000 let po Arhimedu. Posledica: decimalni zapis π se nikoli ne konča in nikoli ne postane periodičen.
Pi je celo transcendentno število – kar je še hujše od iracionalnosti. To pomeni, da π ni rešitev nobene algebrske enačbe s celimi koeficienti. Ferdinand von Lindemann je to dokazal leta 1882, in s tem dokončno pokopал 2000 let star sen: kvadratura kroga (konstruiranje kvadrata enakovrsten krogu z ravnilom in šestilom) je za vedno nemogoča.
Johann Heinrich Lambert je leta 1761 dokazal, da je tan(x) iracionalno, kadar je x ≠ 0 racionalno. Ker je tan(π/4) = 1 (torej racionalno), sledi, da π/4 ne more biti racionalno – torej π sam ni racionalen.
Ideja: razvil je tan(x) v neskončen verižni ulomek in pokazal, da ta za nobeno racionalno vrednost x (razen x = 0) ne more dati racionalnega rezultata. Dokaz je tehničen, a rezultat je lepši od večine: iracionalnost π je bila neposredna posledica lastnosti tangens funkcije, ne dolgotrajnega računanja.
Iracionalnost pa je šibkejša trditev od transcendentnosti. Za slednje je Lindemann leta 1882 razširil Hermitov dokaz transcendentnosti e (1873) prek Lindemanna–Weierstrassovega izreka: ea je transcendentno za vsako nenično algebrsko a. Ker eiπ = −1 (ki je algebrsko), sledi, da iπ – in torej π – ne sme biti algebrsko.
Opomba: to je hkrati skrita napoved Eulerjeve identitete – beri naprej!
Georges-Louis Leclerc, grof Buffon, je leta 1777 postavil bizarno vprašanje: vmetaš iglo dolžine L na tla s paralelnimi črtami razdalje d. Kolikšna je verjetnost, da igla prečka eno od črt?
Odgovor: P = 2L / (πd) (za L ≤ d). Torej: π se skriva v verjetnosti naključnega metanja igle. Zakaj? Ker je povprečna projekcija igle na smer prečno na črte enaka (2/π)·L – in to povprečje temelji na integralu sinusne funkcije, ki prinese π.
V praksi so matematiki to metodo res izvedli: v 19. in 20. st. so vrgli na tisoče igel in dobili ocene π na 2–3 decimalna mesta. Ne preveč učinkovita metoda, a verjetno najduhovitejši fizični pojav, ki ga kadarkoli boš srečal.
Pi se pojavi v enačbah, ki nimajo nič opraviti s krogi – vsaj na prvi pogled. Gaussova normalna porazdelitev vsebuje π pod korenom: 1/(σ√(2π))·e−x²/2σ². Zakaj? Ker je integral e−x² po celi realni osi enak √π – in to prek elegantnega trika z dvakratnim integralom v polarnih koordinatah, ki prinese krog.
V fiziki se π pojavi v Coulombovi konstanti, Stefanovi-Boltzmannovi konstanti, Heisenbergovem načelu nedoločenosti... Ker valovna mehanika temelji na Fourierovi transformaciji, ki temelji na krožnih funkcijah, ki vključujejo π.
Skratka: vsakič ko narava niha, kroži ali povprečuje – tam je π. Ne iz udobja, ampak ker je geometrija vesolja krožna v samem temelju.
Kar zdaj veš
π je razmerje obsega kroga k premeru – vedno enako, za vsak krog. Je iracionalno (ni ulomek) in transcendentno (ni rešitev nobene algebrske enačbe). Arhimed ga je lovil s poligoni; Lambert ga je prvič dokazal iracionalnega; Lindemann je s transcendentnostjo dokončno pokopал kvadraturo kroga. In π se pojavlja povsod – v krogu, v valovih, v statistiki, v kvantni mehaniki. Naslednji korak: srečamo e, ki pride iz popolnoma drugega sveta – in ki bo skupaj s π naredil Eulerjev čudež.